Oneindig klein is niet nul

Er bestaat een duidelijk verschil tussen oneindig klein en nul. Het heeft geen bepaalde waarde en daar moet je bij berekeningen zorgvuldig op letten. We noemen deze oneindig kleine waarde Δx, en denken er steeds aan dat Δx→0. Zo geldt

want Δx is verwaarloosbaar. Omdat Δx toch nog een waarde heeft, mag je er door delen. In het verdere onderzoek gebruiken we de formule

en berekenen, wel is waar met oogkleppen op, als eerste

      

Dit is echter fout. Zo mag je niet rekenen. Proberen we dit nog eens, op een betere manier, en beginnen met n = 0. Voor ieder getal  ≠ 0 geldt a⁰ = 1. Daarom levert onze formule dan ook

Het lijkt allemaal heel duidelijk. Het resultaat is in de twee voorgaande berekeningen hetzelfde. We gaan verder met n = 1 en berekenen

Dat is vreemd, want dat is een ander resultaat als in de berekening waar we de oogkleppen op hadden. Laten we het nu eens proberen met n = 2 en dan zien we

Dan natuurlijk ook eens met n = 3 en we krijgen

Blijkbaar is (1 + Δx) kleiner dan (1 + Δx)² en dat is weer kleiner dan (1 + Δx)³. Dat zou een verklaring kunnen zijn. Maar dat kan niet kloppen. Want we zijn er zeker van dat

(1 + Δx)⁰ = 1

Bovendien hebben we al gezien dat

(1 + Δx)¹ = 1

en dan moet elke andere exponent, noemen we die gewoon n, natuurlijk ook 1 opleveren, want algemeen geldt

(1 + Δx)ⁿ = 1

Wat is er nu fout gegaan? Ja, hier wordt duidelijk dat oneindig klein toch wel iets anders is dan nul. De grote fout werd al direct in het begin gemaakt, want de opgave moet je schrijven als

omdat het in werkelijkheid om een limiet gaat. Bij de verwerking daarvan gelden speciale regels en die werden met voeten getreden. Een limiet mag je nooit op een beperkt deel van een berekening toepassen. Zo werd een fout gemaakt, want

en dat had fatale gevolgen, zoals we gezien hebben.